Barisan dan Deret Bilangan

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Suku-suku suatu barisan umumnya mempunyai suatu pola atau aturan. Pola atau aturan tersebut dapat dilihat dengan membandingkan suku-suku yang berdekatan. Dengan mengetahui pola dari suatu barisan, dapat ditentukan suku berikutnya atau rumus suku ke-n atau suku umumnya. Barisan bilangan dapat dibedakan menjadi barisan bilangan sederhana, barisan aritmetika, dan geometri.

Misalnya seorang karyawan pada awalnya memperoleh gaji  sebesar Rp.600.000,00. Selanjutnya, setiap bulan berikutnya gaji yang diperoleh bertambah Rp.5.000,00. jika kita susun gaji karyawan itu mulai bulan pertama adalah sebagai berikut. Rp.600.000,00, Rp.605.000,00, Rp.610.000,00, Rp.615.000,00,…….. Susunan yang demikian dinamakan barisan. Bilangan pertama disebut suku pertama (U1),bilangan kedua disebut suku kedua (U2), dan seterusnya.Suku ke-n dari suatu barisan bilangan dinotasikan dengan Un.

A. Barisan Bilangan Sederhana
Barisan bilangan dibentuk oleh bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Barisan bilangan ini dapat kita teruskan suku-sukunya apabila aturan untuk memperoleh suku berikutnya sudah ditentukan. Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
1, 2, 4, 7, 11, …
Artinya : Suku pertama ditulis U₁ = 1
Suku ke-dua ditulis U₂ = 2
Suku ke-tiga ditulis U₃ = 4
Suku ke-empat ditulis U₄ = 7
Dan seterusnya …
Suku ke-n ditulis Un
Suku berikutnya dari barisan tersebut dapat diteruskan dengan aturan ”menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”

Deret Bilangan

”Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”.
Dengan cara di atas maka untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan meneruskan pola yang ada. Namun demikian, untuk n yang besar misalnya n = 50, kita akan mengalami kesulitan, untuk itu akan kita pelajari bagaimana menentukan suku ke-n dengan menggunakan rumus Un

Contoh-contoh barisan bilangan khusus antara lain :
1. Barisan Bilangan Asli

Barisan Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, …
Rumus suku ke-n adalah Un = n
Suku ke-10 adalah U10 = 10

2. Barisan Bilangan Genap

Barisan Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, …
Rumus suku ke-n adalah Un = 2n
Suku ke-20 adalah U20 = 2 x 20 = 40

3. Barisan Bilangan Ganjil

Barisan Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, …
Rumus suku ke-n adalah Un = 2n – 1
Suku ke-15 adalah U15 = 2 x 15 – 1 = 29

4. Barisan Bilangan Kuadrat

Barisan Bilangan Kuadrat / persegi : 1, 4, 9, 16, …
Rumus suku ke-n adalah Un = n2Suku ke-12 adalah U12 = 122 = 144

Barisan bilangan juga dapat diperoleh dari pengembangan pola yang teratur, contoh :
5. Pola Bilangan Persegi Panjang
Barisan Bilangan Persegi Panjang : 2, 6, 12, 20, …
Rumus suku ke-n adalah Un = n(n+1)

Pola Persegi Panjang

Suku ke-8 adalah U8 = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72

7. Barisan Bilangan Segitiga
Barisan Bilangan Segitiga : 1, 3, 6, 10, …
Rumus suku ke-n adalah Un = ½ n(n+1)

Bilangan Segitiga

Suku ke-10 adalah U10 = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55

8. Barisan Bilangan Pada Segitiga Pascal
Baris ke-n diperoleh dengan menjumlahkan dua suku berurutan pada baris sebelumnya :

Segitiga Pascal

Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1 = 1 = 20 = 21-1
Jumlah bilangan pada baris ke-2 = 1 + 1 = 2 = 21 = 22-1
Jumlah bilangan pada baris ke-3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 22 = 23-1
Jumlah bilangan pada baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 = 24-1
Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n-1

B. Barisan Aritmetika dan Geometri
Ada perbedaan mendasar untuk menentukan apakah suatu barisan disebut barisan Aritmatika atau Geometri. suatu barisan dikatakan barisan aritmatika bila barisan tersebut memiliki selisih yang sama antara suku berikutnya dengan suku sebelumnya. Sebaliknya, suatu barisan dikatakan barisan geometri bila barisan tersebut memiliki ratio yang sama antara suku berikutnya dengan suku sebelumnya. Berikut ini merupakan salah satu kajian mengenai barisan Aritmatika dan Geometri,

1. Barisan Aritmetika
barisan aritmetika dalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu), bilangan yang tetap tersebut dinamakan beda (b)
Barisan bilangan : 2, 5, 8, 11, …
Suku awal / suku pertama atau a = 2
Beda atau b = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3
Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika naik

Barisan bilangan : 20, 18, 16, 14, …
Suku awal / suku pertama atau a = 20
Beda atau b = 18 – 20 = 16 – 18 = 14 – 16 = -2
Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika turun

Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Aritmetika
U1 = a = a + (1-1)b
U2 = a + b = a + (2-1)b
U3 = a + 2b = a + (3-1)b
U4 = a + 3b = a + (4-1)b

Un = a + (n-1) b
Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah :

Rumus

dengan Un = Suku ke-n
a = suku awal / suku pertama
b = beda

Contoh :
Tentukan suku ke-15 dan suku ke-20 dari barisan : 1 , 4 , 7 , 10 , …
Jawab :
a = 1
b = 4 – 1
= 7 – 4
= 3
Un = a + (n-1) b
U15 = 1 + (15 – 1) x 3
= 1 + 14 x 3
= 1 + 42
= 43
U20 = 1 + (20 – 1) x 3
= 1 + 19 x 3
= 1 + 57
= 58
Jadi suku ke-15 = 43 dan suku ke-20 = 58

2. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio)
Barisan bilangan : 2, 6, 18, 54, …
Suku awal / suku pertama atau a = 2
Rasio atau r = 6 : 2 = 18 : 6 = 54 : 18 = 3
Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik
Barisan bilangan : 20, 10, 5, 2,5 , …
Suku awal / suku pertama atau a = 20
Rasio atau r = 10 : 20 = 5 : 10 = ½
Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun

Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Geometri
U1 = a = a x r1-1
U2 = a x r = a x r2-1
U3 = a x r2 = a x r3-1
U4 = a x r3 = a x r4-1

Un = a x rn-1

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah :

rumus 2

Dengan Un = suku ke-n
a = suku awal / suku pertama
r = rasio

Contoh :
Tentukan suku ke-9 dari barisan : 2 , 4 , 8 , 16 , …

Jawab :
a = 2 , r = 4 : 2 = 8 : 4 = 2
Un = a x rn-1
U9 = 2 x 29-1
= 2 x 28
= 2 x 256
= 512
Jadi suku ke-9 adalah 512

Pengerjaan Hitung Bilangan Bulat

Pengerjaan hitung bilangan bulat. Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, …) dan negatifnya (-1, -2, -3, …; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Lambang bilangan bulat: . . . , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . Letak bilangan bulat pada garis bilangan: Bilangan bulat yang berada di sebelah kiri nol bernilai negatif. Bilangan bulat yang berada di sebelah kanan nol bernilai positif. 4 dibaca positif empat atau dibaca empat –3 dibaca negatif tiga
Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk lebih memahami  penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat kita menggunakan garis bilangan. Perhatikan contoh betikut

Perhatikan percakapan di atas. Berapa uang kembalian Ilham?

Catatan uang Ilham = –3.000 rupiah. Uang Ilham yang diberikan = 10.000 rupiah. Uang kembalian = –3.000 + 10.000 rupiah. Diperoleh, –3.000 + 10.000 = 7.000. Jadi, uang kembaliannya Rp7.000,00.

Jika kedua bilangan bertanda sama maka dijumlahkan dan tandanya tetap. Contoh : 8 + 15 = 23 –8 + (–15) = –23 Jika kedua bilangan berbeda tanda maka dicari selisihnya dan tandanya sama dengan bilangan yang lebih besar. Conyoh :15 > 8, sehingga: –8 + 15 = 15 – 8 (15 bernilai positif) = 7, 8 + (–15) = 8 – 15 (15 bernilai negatif) = – 7

Contoh Soal :
1. 48 + (–25) = 48 > 25, 48 bernilai positif maka hasil positif  = 23
2. –98 + 25 = 98 > 25, 98 bernilai negatif maka hasil negatif = -75
3. 51 + 198 = kedua bilangan bertanda sama positif, tinggal dijumlahkan = 249
4. –51 + (–31) = kedua bilangan bertanda sama negatif, tingal dijumlahkan =-82
5. –52 + (–48) = kedua bilangan bertanda sama negatif, tingal dijumlahkan =-100
6. –129 + 250 = 129 < 250, 250 bertanda positif maka hasil positif = 121
7. –239 + (–153) = kedua bilangan bertanda sama negatif, tingal dijumlahkan =-392
8. 840 + (–211) = 840 > 211, 840 bertanda positif, maka hasil positif = 629
9. 2.185 + 1.348 = kedua bilangan bertanda sama positif, tinggal dijumlahkan = 3.533
10. –838 + 2.712 = 838 < 2.712, 2.712 bertanda positif, maka hasil positif= 1.874

Mengurangkan bilangan bulat

Masih ingat cerita di atas ? Uang Ilham mula-mula = 15.000 rupiah Harga kaus = 18.000 rupiah Uang Ilham sekarang = 15.000 – 18.000 = 15.000 + (–18.000) = –3.000 rupiah. Uang Ilham –3.000 rupiah artinya Ilham masih berhutang 3.000 rupiah.

Kalau ada pengurangan, ubahlah dahulu menjadi bentuk penjumlahan kemudian jumlahkan dengan lawannya.

Contoh Soal
1. 85 – 100 = 85 + )-100) = -15
2. 165 – 272 = 165 + (-272) = -107
3. –82 – 153 = -82 + (-153) = -245
4. 617 – (–350) = 617 + 350 = 960
5. –361 – (–824) = -361+ 824 = 463 
6. –815 – (–815) = -815 + 815 = 0

Penjumlahan dan pengurangan

Masih ingat kejadian-kejadian yang dialami Ilham? Bagaimana cara menghitung sisa uang Ilham? Perhitungan uang Ilham selengkapnya sebagai berikut.

15.000 – 18.000 + 10.000
= 15.000 + (–18.000) + 10.000
= –3.000 + 10.000
= 7.000
Sisa uang Ilham Rp7.000,00.

Contoh Soal
1. 400 – 218 + 354 = 400  + (-218) + 354 = 182 + 354 = 536
2. 282 + 325 – 419 = 517 + (- 419) = 98
3. 847 – 628 + (–224) = 847 + (-628) +(-224) = 219 +(-224) = -5
4. 843 – 895 + 351 = 843 + (-895) + 351 = -52 + 351 = 299
5. 251 + 155 + (–545) = 406 +(-545) = -139
6. –815 – (–533) – 273 = -815 + 533 – 273 = -282 + (-273) = -555
7. –327 – 451 + 837 = -327 + (-451) + 837 = -778 + 837 = 59
8. 945 – 4.205 + 2.420 = 945 + (-4.205) + 2.420 = -3.260 + 2.420 = -840
9. 2.587 + 835 – 5.221 = 3.422 + (-5.221) = -1.789
10. –835 – 5.411 + 2.264 = -835 + (-5.411) + 2.264 = -6.246 + 2.264 = -3.982

Perkalian dan Pembagian

Hasil perkalian dua bilangan berbeda tanda adalah bilangan negatif. Hasil perkalian dua bilangan bertanda sama adalah bilangan positif.
  • (+) × (+) = (+)
  • (–) × (+) = (–)
  • (+) × (–) = (–)
  • (–) × (–) = (+)
Contoh :
5 × 6 = 30 dan –5 × 6 = -30

Membagi bilangan bulat
Pembagian merupakan kebalikan dari perkalian. Membagi bilangan bulat sama mudahnya dengan membagi bilangan cacah. Hanya saja perlu diperhatikan tanda negatif atau positif bilangan yang dikerjakan.
Perhatikan.
1. 2 × 3 = 6 maka 6 : 3 = 2
2. –2 × 5 = –10 maka –10 : 5 = –2
3. 3 × (–6) = –18 maka –18 : (–6) = 3
4. –4 × (–5) = 20 maka 20 : (–5) = –4
Pembagian dua bilangan bulat yang tandanya sama hasilnya berupa bilangan positif. Pembagian dua bilangan bulat yang tandanya berlainan hasilnya berupa bilangan negatif.

  • (+) : (+) = (+)
  • (+) : (–) = (–)
  • (–) : (+) = (–)
  • (–) : (–) = (+)

Soal Latihan :

1. 108 : 12 = 9  (+) : (+) = (+)
2. 156 : (–13) = -12 (+) : (–) = (–)
3. –210 : 15 = -14 (–) : (+) = (–)
4. –288 : (–18) = 16 (–) : (–) = (+)
5. –399 : (–21) = 19 (–) : (–) = (+)
Uji Kemampuan :
1. Made membeli 12 buku tulis. Harga satu buku tulis Rp1.250,00. Bantulah Made menghitung harga seluruh buku tulis.
Jawab :
Harga seluruh buku = 12 x Rp1.250 = Rp15.000,00
2. Di gudang Pak Jaya tersimpan 6.800 kilogram beras. Beras tersebut akan dikirim kepada 8 pengecer. Setiap pengecer menerima beras sama banyak. Bantulah Pak Jaya menentukan banyak beras yang harus dikirim kepada setiap pengecer.
Jawab :
Setiap pengecer menerima = 6.800 : 8 = 850 kg beras.
3. Pada bulan dana PMI seluruh siswa di sekolahku diminta sumbangan Rp500,00. Sekolahku terdiri atas 6
kelas dan tiap kelas ada 42 siswa. Bantulah panitia bulan dana PMI menghitung uang yang diperoleh dari sekolahku.
Uang yang diperoleh =Rp500 x 6 x 42 = 3.000 x 42 = Rp126.000,00
4. Dalam rangka HUT Kemerdekaan RI diadakan lomba gerak jalan antarsekolah dasar. Ada 15 sekolah yang mengirimkan regu gerak jalan. Tiap regu terdiri atas 12 anak. Panitia menyediakan 45 bungkus permen untuk dibagikan. Setiap bungkus berisi 40 permen. Bantulah panitia menentukan jumlah permen yang harus diberikan kepada tiap peserta.
Jawab :
Jumlah permen = (45 x 40) : (15 x 12) = 1.800 : 180 = 10

Sifat Pengerjaan Hitung

Salah satu materi matematika untuk kelas V Sekolah Dasar adalah Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan bulat. Sifat-sifat pengerjaan hitung pada bilangan bulat yang akan dipelajari sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Mungkin kamu pernah menggunakan sifat-sifat tersebut, tetapi belum tahu nama sifat-sifatnya.

1. Sifat Komutatif (Pertukaran)
a.Sifat komutatif pada penjumlahan
Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?

Kelereng

Perhatikan gambar.
Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan jumlah kelereng Budi.
Jadi, 5 + 3 = 3 + 5.
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif.
Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut.

a + b = b + a, dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

b. Sifat komutatif pada perkalian
Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir. Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik. Setiap kantong berisi 2 butir.
Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik. Setiap kantong berisi 4 butir.
Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut. Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2
= 4 × 2 = 8
Kelereng Budi = 4 + 4
= 2 × 4 = 8
Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat komutatif pada perkalian.

Secara umum, sifat komutatif pada perkalian dapat ditulis: a × b = b × a , dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

Soal Latihan
Gunakan sifat komutatif pada penjumlahan dan perkalian.
1. –10 + 2 = ___ + ___
2. 29 + (–11) = ___ + ___
3. –20 + 50 = ___ + ___
4. 24 + (–40) = ___ + ___
5. –15 + (–25) = ___ + ___
6. 10 × 6 = ___ + ___
7. –5 × 9 = ___ + ___
8. 15 × (–3) = ___ + ___
9. –50 × 2 = ___ + ___
10. –30 × (–3) = ___ + ___

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
a. Sifat asosiatif pada penjumlahan
Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah. Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?

Perhatikan gambar.
Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi sama dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.
Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4).
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada penjumlahan.

Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis: (a + b) + c = a + (b + c), dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat.

Soal Latihan
Gunakan sifat asosiatif pada penjumlahan
1. (2 + (–1)) + 3 = 2 + (–1 + 3) = 2 + 2 = 4
2. (1 + 2) + (–5) = 1 + (2 + (-5)) = 1 +(- 3) = -2
3. (–2 + 3) + 4 = –2 + (3+ 4) =-2 + 7 = 5
4. (5 + (–1)) + (–4) = 5 + (–1 + (–4)) = 5 x (-5) = -25
5. (–6 + 2) + (–10) = –6 + (2 + (-10) ) = -6 +(-8) = -14
6. (20 + (–1)) + 3 = 20 + (–1 + 3) = 20 +(-2) = 18
7. (–5 + 25) + 4 = –5 + (25 + 4) = -5 + 29 = 24
8. (30+ (–3)) + 6 = 30 + ((-3)+ 6) = 30 + 3 = 33
9. (39 + (-5)) + (–10) = 39 + (–5 + (–10)) = 39 + (-15) = 24
10. (–45 + 4) + 7 = –45 + (4 + 7) = -45 + 11 = 34

b. Sifat asosiatif pada perkalian
Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi 3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi 4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi?
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kelereng Andi.
Cara pertama menghitung banyak bungkus. Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.
Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus
= (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir
= (3 + 3) × 4
= (2 × 3) × 4 = 24 butir
Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak kotak.
Banyak kotak × banyak kelereng
= 2 × (4 + 4 + 4)
= 2 × (3 × 4) = 24 butir
Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4. Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama. Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian.

Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat ditulis: (a × b) × c = a × (b × c), dengan a, b, dan c bilangan bulat.

Soal Latihan
Gunakan sifat asosiatif pada penjumlahan dan perkalian.
1. (50 + (–5)) + (–3) = 50 + (–5 + -3 ) = 50 + (-8) = 42
2. (65 + (–60) + (-3) = 65 + (–60 + (–3)) = 65 +-(63) = 2
3. (55 + (–30)) + 6 = 55 + ((-30) + 6) = 55 + (-24) = 31
4. (–39 + 32) + (-4) = -39 + (32 + (–4)) =-39 + 28 = -11
5. (45 + 27) + (–9) = 45 + (27 + (-9)) = 45 + 18 = 81
6. (2 × 6) × 4 = 2 × (6 × 4) = 2 x 24 = 48
7. (–3 × 2) × 5 = -3 × (2 × 5) =-3 x 10 = -30
8. (4 × (–5)) × 2 = 4 × ((-5) × 2) = 4 x (-10) = -40
9. (–3 × (–2)) × 6 = -3 × ((-2) × 6) = -3 x (-12) = 36
10. (5 × (–4)) × (–3) = 5 × ((-4) × (-3))= 5 x 12 = 60

3. Sifat Distributif (Penyebaran)
Perhatikan contoh berikut
a. (3 × 4) + (3 × 6) = 3 × (4 + 6) Angka pengali disatukan 3 × 4 dan 3 × 6 mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 3 yang menggunakan sifat distributif.

Benarkah bahwa (5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3)?
Penghitungan dilakukan dengan cara menjumlah kedua angka yang dikalikan (4 + 6). Kemudian hasilnya dikalikan dengan angka pengali (3). 3 × (4 + 6) = 3 × 10 = 30. Mengapa cara ini digunakan. Karena menghitung 3 × (4 + 6) = 3 × 10 lebih mudah daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6). (5 × 13) – (5 × 3) mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 5. Angka pengali disatukan menjadi 5 × (13 – 3). Diperoleh: (5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3) Contoh di atas merupakan pengurangan dengan sifat distributif.

b.15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2),Angka pengali dipisahkan 15 × (10 + 2) mempunyai angka pengali 15. Penghitungan dilakukan dengan cara kedua angka yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan dengan angka pengali (15), kemudian hasilnya dijumlahkan.15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)
= 150 + 30
= 180

Cara ini juga untuk mempermudah penghitungan karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30 lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2 = 15 × 12. Cara penghitungan seperti di atas menggunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan.

Secara umum, sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis:a × (b + c) = (a × b) + (a × c), a × (b – c) = (a × b) – (a × c) dengan a, b, dan c bilangan bulat

Soal Latihan
Gunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan.
1. (3 × 63) + (3 × 17) = 3 × (63 + 17) = 3 x 80 = 240
2. (–5 × 21) + (–5 × 19) = -5 × (21 + 19) =-5 x 40 =-200
3. (–4 × 46) + (–4 × 14) = -4 × (46 + 14) = -4 x 60 = -240
4. 5 × (20 + 12) = (5 × 20) + (5 × 12) = 10 + 60 = 160

4. Menggunakan Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif
Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan.
Perhatikan contoh berikut.
1. Menghitung 5 × 3 × 6
Cara 1:

  • 5 × 3 × 6 = 5 × 6 × 3 (Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 6.)
  • = (5 × 6) × 3 (Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
  • = 30 × 3
  • = 90

Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 6.
Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
Cara 2:

  • 5 × 3 × 6 = 3 × 5 × 6 (Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya. Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 5)
  • = 3 × (5 × 6) (Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya)
  • = 3 × 30
  • = 90

2.Menghitung 8 × 45
Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 5.
Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
Cara 1: menggunakan sifat distributif pada penjumlahan
8 × 45 = 8 × (40 + 5)
= (8 × 40) + (8 × 5)
= 320 + 40
= 360
Cara 2: menggunakan sifat distributif pada pengurangan
8 × 45 = 8 × (50 – 5)
= (8 × 50) – (8 × 5)
= 400 – 40
= 360

Soal Latihan :
Manfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif
1. 4 × 15 × 6 = 4 x (15 x 6) = 4 x 90 = 360
2. 29 × 10 × 31 = (29 x 10) x 31 = 290 x 31 = 8.990
3. 54 × 12 × 5 = 54 x (12 x 5) = 54 x 60 = 3.240
4. 125 × 9 × 16 = (125 x 9) x 16 = 1.125 x 16 = 18.000
5. 12 × 44 =(10 + 2) x 44 = (10 x 44) + (2 x 44) = 440 + 88 = 528
6. 9 × 57 = 9 x (50 + 7) = (9 x 50) + (9 x 7) = 450 + 63 = 513
7. 15 × 44 = 15 x (40 + 4) = (15 x 40) + (15 x 4) = 600 + 60 = 660
8. 11 × 38 = 11 x (30 + 8) = (11 x 30) + (11 x 8) = 330 + 88 = 418
9. 25 × 79 = 25 x (70 + 9) = (25 x 70) + (5 x 9) = 1.750 + 45 = 1.795
10. 30 × 93 = 30 x (90 + 3) = (30 x 90) + (90 x 3) = 2.700 + 270 = 2.970

Mengubah Pecahan Desimal

Sistem desimal mulai diperkenalkan pada zaman Renaissance. Pada tahun 1492, Francesco Pellos (1450–1500) menerbitkan karyanya yang berjudul Compendio de lo abaco. Ia menggunakan tanda titik untuk menandai pecahan dengan penyebut sepuluh (desimal). Pecahan desimal adalah salah satu bentuk lain dari suatu pecahan. Ciri khas dari pecahan desimal adalah tanda koma ( , ) Penyebut dari pecahan desimal adalah 10 atau kelipatan 10 (100, 1000, 10000, dan seterusnya). Satu angka dibelakang koma berarti penyebutnya 10. Contoh: 0,6 = enam per sepuluh. Dua angka dibelakang koma berarti penyebutnya 100. Contoh: 2,03 = dua, tiga per seratus. Perhatikan pecahan desimal berikut.

3,78 =3 (satuan) + 7 persepuluhan + 8 perseartusan.

Bilangan Desimal

Mengubah desimal ke persen dan sebaliknya
Langkah-langkah mengubah pecahan desimal ke bentuk persen adalah sebagai berikut.

  • Ubahlah desimal ke bentuk pecahan berpenyebut 100.
  • Dari bentuk pecahan diubah ke bentuk persen.
Contoh 1 0,75 = 75 = 75%
100
Contoh 2 0,135 = 135 = 13,5 = 13,5 %
1000 100

Langkah-langkah mengubah bentuk persen ke bentuk desimal sebagai berikut.

  • Ubahlah persen ke bentuk pecahan berpenyebut 100.
  • Pecahan ini diubah ke bentuk desimal.
Contoh 1 24% = 24 = 0,24
100
Contoh 1 76% = 76 = 0, 76
100

Perhatikan pembilang pada pecahan berpenyebut 100 tersebut. Dalam membuat ke bentuk desimal, koma bergeser ke kiri dua langkah.

Mengubah pecahan biasa ke desimal dan sebaliknya
Langkah-langkah mengubah pecahan ke desimal.

  • Ubahlah pecahan biasa ke bentuk pecahan berpenyebut 10, 100, 1.000, dan seterusnya.
  • Pecahan yang diperoleh diubah ke bentuk desimal.

Contoh 1 : 13 = 13 x 4 = 52 = 0.52
25 25 x 4 100
Contoh 2 : 63 = 63 x 8 = 504 = 0.504
125 125 x 8 1.000

Perhatikan pembilang pada pecahan berpenyebut 1.000 tersebut. Dalam membuat ke bentuk desimal, koma bergeser ke kiri tiga langkah.

Langkah-langkah mengubah desimal ke pecahan caranya sebagai berikut.

  • Ubahlah bentuk desimal ke bentuk pecahan berpenyebut 10, 100, 1.000, dan seterusnya.
  • Sederhanakan bentuk pecahan yang diperoleh tersebut.

Contoh 1 : 0, 8 = 8 = 8 : 2 = 4
10 10 : 2 5
Contoh 2 : 0,24 = 24 = 24: 4 = 6
100 100 : 4 25

Soal Latihan :
Mengubah Pecahan Biasa ke Pecahan Persen dan Desimal

No. Pecahan Bentuk Persen Bentuk Desimal
1.
2
5
2 = 2 x 20 = 40 = 40%
5 5 x 20 100
2 = 2 x 20 = 40 = 0.4
5 5 x 20 100
2.
4
25
4 = 4 x 4 = 16 = 16%
25 25 x 4 100
4 = 4 x 4 = 16 = 0.16
25 25 x 4 100
3.
13
20
13 = 13 x 5 = 65 = 65%
20 20 x 5 100
13 = 33 x 5 = 65 = 0.65
20 20 x 5 100
4.
27
40
27 = 27 x 25 = 675 = 67,5%
40 40 x 25 1.000
27 = 27 x 25 = 675 = 0.675
40 40 x 25 1.000
5.
17
50
17 = 17 x 2 = 34 = 34%
50 50 x 2 100
17 = 17 x 2 = 34 = 0.34
50 50 x 2 50

Mengubah Pecahan Desimal ke Pecahan Persen dan Biasa

No. Pecahan Bentuk Persen Bentuk Biasa
1. 0,65
0,75 = 65 = 65%
100
0,65 = 65 = 65 : 5 = 13
100 100 : 5 20
2. 0,46
0,46 = 46 = 46%
100
0,46 = 46 = 46 : 2 = 23
100 100 : 2 50
3. 0,125
0,125 = 125 = 12,5%
1.000
0,125 = 125 = 125 : 125 = 1
1.000 1.000 : 125 8
4. 0,76
0,76 = 76 = 76%
100
0,76 = 76 = 76 : 2 = 38
100 100 : 2 50
5. 0,625
0,625 = 625 = 62,5%
1.000
0,625 = 625 = 625 : 125 = 5
1.000 1.000 : 125 8

Mengubah Pecahan Persen ke Bentuk Desimal dan Biasa

No. Pecahan Bentuk Desimal Bentuk Biasa
1. 25
25% = 25 = 0,25
100
25% = 25 = 25 : 5 = 5
100 100 : 5 20
2. 70%
70% = 70 = 0,70
100
70% = 70 = 70 : 10 = 7
100 100 : 10 10
3. 48%
48% = 48 = 0,48
100
48% = 48 = 48 : 4 = 12
100 100 : 4 25
4. 12,5%
12,5% = 125 = 0,125
1.000
12,5% = 125 = 125 : 125 = 1
1.000 1.000 : 125 8
5. 87,5
87.5% = 875 = 0,875
1.000
87,5% = 875 = 875 : 125 = 7
1.000 1.000 : 125 8

Menaksir Hasil Kali dan Hasil Bagi

Cara menaksir hasil kali atau hasil bagi dua bilangan yaitu dengan membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan dari kedua bilangan tersebut dikali atau dibagi. Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat, jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidak dihitung atau dihilangkan. Sedangkan jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angka tersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan.

Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekat, jika angka puluhannya kurang dari 50, angka puluhan dan satuan dihilangkan. Sedangkan, jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 50, angka puluhan tersebut dibulatkan ke atas menjadi ratusan. Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatan ke angka ribuan terdekat, puluh ribuan terdekat, dan seterusnya.

Lambang taksiran yaitu ≈. Misalnya 21 × 29 ≈ 20 × 30 = 600. Dibaca dua puluh satu kali dua puluh sembilan kira-kira enam ratus.

Menaksir

Contoh soal
Banyak kelompok yang ikut gerak jalan 18 tim. Setiap tim beranggotakan 21 anak. Berapa kira-kira jumlah anak yang ikut gerak jalan?

Pembahasan
Banyak tim = 18 dibulatkan menjadi→ 20.

Angka 8 lebih dari 5. Angka 8 dibulatkan ke 10. Jadi, angka 18 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 20.

Banyaknya anggota setiap tim = 21 dibulatkan menjadi → 20.

Angka 1 kurang dari 5. Angka 1 dibulatkan ke 0. Jadi, angka 21 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 20.

Taksiran jumlah siswa = 20 × 20 = 400.
Jadi, jumlah anak yang ikut gerak jalan kira-kira ada 400.

Apabila hasil perkaliannya dibulatkan, diperoleh hasil berikut.
18 × 21 = 378 (hasil sebenarnya)
Pembulatan ke puluhan terdekat:
378 → 370 + 10 = 380, 378 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 380. Jadi, 18 × 21 ≈ 380.

Angka 8 lebih dari 5. Angka 8 dibulatkan menjadi 10.

Pembulatan ke ratusan terdekat:
378→ 300 + 100 = 400, 378 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 400. Jadi, 18 × 21 ≈ 400.

Angka 78 lebih dari 50. Angka 78 dibulatkan menjadi 100.

Apabila panitia menyediakan minuman sebanyak 576 botol untuk peserta gerak jalan, kira-kira berapa botol
minuman yang didapatkan setiap tim?

Pembahasan
Banyak minuman yang didapatkan setiap tim: 576 : 18
576→ 500 + 100 = 600
18 → 10 + 10 = 20
Diperoleh 600 : 20 = 30.
Jadi, banyak minuman yang didapatkan setiap tim kira-kira 30 botol.

Tentukan hasil perkalian atau pembagian soal-soal berikut. Hasilnya bulatkan ke puluhan dan ke ratusan terdekat. Setelah itu taksirlah hasil perkalian atau pembagiannya.

No. Hasil Sebenarnya Pembulatan ke Puluhan Terdekat Pembulatan ke ratusan terdekat
1. 439 × 78 = 34.242 ≈ 34.240 ≈ 34.200
2. 889 × 23 = 6.647 ≈ 6.650 ≈ 6.700
3. 832 × 58 = 48.256 ≈ 48.250 ≈ 48.300
4. 826 × 678 = 560.028 ≈ 560.030 ≈ 560.000
5. 872 × 926 = 807.472 ≈ 807.470 ≈ 807.500
6. 589 : 19 = 31 ≈ 30 ≈ 0
7. 418 : 38 = 11 ≈ 10 ≈ 0
8. 4.134 : 53 = 78 ≈ 80 ≈ 100
9. 31.785 : 39 = 815 ≈ 820 ≈ 800
10. 28.413 : 41 = 693 ≈ 690 ≈ 700

Pak Udin ingin memperbaiki rumahnya. Gunakan taksiran untuk membantu Pak Udin.

  • Panjang dan lebar rumah Pak Udin 13 meter dan 8 meter. Kira-kira berapa m² luas rumah Pak Udin?Pembahasan : Luas rumah Pak Udin kira-kira adalah 10 x 10 ≈ 100 m²
  • Satu kardus keramik dapat digunakan untuk menutup lantai seluas 2 m². Kira-kira berapa kardus keramik yang dibutuhkan Pak Udin untuk menutup lantai rumahnya? Pembahasan Keramik yang dibutuhkan kira-kira = 100 m² : 2 ≈ 50 dus
  • Harga satu kardus keramik Rp35.500,00. Apabila Pak Udin mempunyai uang dua juta rupiah, kira-kira cukupkah uang tersebut untuk membeli keramik yang dibutuhkannya? Pembahasan Cukup, Rp.36.500 x 50 dus ≈ Rp,1.775.000.
  • Dinding rumah Pak Udin yang akan dicat ulang luasnya 42 m². Satu kilogram cat dapat digunakan untuk mengecat dinding seluas 12 m². Berapa kira-kira cat yang dibutuhkan Pak Udin? Pembahasan Cat yang dibutuhkan kira-kira = 40 : 10 ≈ 4 kg
  • Harga satu kilogram cat tembok Rp12.250,00. Berapa kira-kira uang yang harus dikeluarkan Pak Udin untuk membeli cat tembok? Pembahasan Uang untuk membeli cat kira-kira = Rp12.300 x 4 ≈ Rp49.200
  • Ruang tamu Pak Udin berukuran 3 m × 4 m. Ruang tamu tersebut akan dipasang karpet. Harga karpet Rp12.750,00 per meter. Berapa kira-kira uang yang harus disediakan Pak Udin untuk membeli karpet? Pembahasan Luas ruang tamu = 4 x 3 = 12 m², Kira-kira uang untuk membeli kapet = Rp12.800 x 10 ≈ Rp128.000

Luas Permukaan dan Volume Kerucut

Bangun Kerucut. Banyak benda-benda di sekitar kita yang berbentuk kerucut, antara lain Corong minyak, Kukusan, Topi ulang tahun anak-anak, Capil, dan Tumpeng. Kerucut adalah sebuah limas yang beralas lingkaran. Limas adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga.

Kerucut dapat disebut sebagai limas dengan alas berbentuk lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi, 1 titik sudut, dan 1 rusuk. Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.

Unsur-unsur Kerucut

  • Sisi alas berbentuk lingkaran berpusat di titik A
  • AC disebut tinggi kerucut;
  • Jari-jari lingkaran alas, yaitu AB;
  • Sisi miring BC disebut apotema atau garis pelukis (s).
  • Selimut kerucut berupa bidang lengkung.

Luas permukaan kerucut :
Untuk mencari luas permukaan dapat menggunakan jaring-jaring kerucut. Jaring-jaring kerucut terdiri dari dua bagian, yaitu dua sisi alas yang berbentuk daerah lingkaran dan sisi samping yang berbentuk daerah selimut kerucut. Jaring-jaring kerucut nampak seperti pada gambar di samping ini. Luas permukaan kerucut ditentukan dengan rumus sebagai berikut:Jadi luas permukaan kerucut adalah sebagai berikut :

permukaan kerucut

L = luas sisi alas + luas selimut kerucut
= π r² + πrs
= π r (r + s)

Apabila garis pelukis belum ada, panjang garis pelukis (s) dapat dicari menggunakan rumus sebagai berikut :s = √(r² + t²)
Contoh soal :
Sebuah kerucut memiliki jari-jari alas 7 cm dan tinggi kerucut 10 cm. Tentukan panjang garis pelukis kerucut.Pembahasan :
Diketahui jari-jari = 7 cm, tinggi 10 cm
s = √(r² + t²) = √(7² + 10²) = √(49 + 100) = √149 = 12,21 cm
Luas = π r (r + s)
= 22/7 x 7 x ( 7 + 12,21)
= 22 x 19,21
= 230,52 cm²

Volume kerucut :
Untuk menentukan rumus volum kerucut dilakukan melalui percobaan (melalui peragaan penakaran) dengan menggunakan alat takar berupa kerucut dan tabung pasangannya. Yang dimaksud dengan tabung pasangannya ialah tabung yang luas alasnya sama dengan luas alas kerucut dan tingginya sama dengan tinggi kerucut. Isi kerucut dengan air atau pasir setelah kerucut penuh kemudian dituangkan ke dalam tabung. Proses ini diulang hingga tabung terisi penuh dengan air atau pasir. Berdasarkan percobaan tersebut, hasil penakaran ternyata isi tabung sama dengan 3 kali isi menakar dengan kerucut.

Oleh karena itu diperoleh rumus sebagai berikut.

Volume tabung = 3 x volume kerucut
Volume kerucut = 1/3 Volume tabung = 1/3 x π x r² x t

Volume kerucut dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Volume kerucut sama dengan sepertiga hasil kali luas alas dengan tingginya. Jika volume kerucut dinyatakan dengan V (satuan volume), jari-jari lingkaran alas r (satuan panjang) dan tingginya t (satuan panjang), maka :

Volume = 1  x luas alas x tinggi
3
Volume = 1  x πr² x t
3
Volume = 1  x πr²t
3

Contoh soal :
Sebuah kerucut memiliki jari – jari 14 cm, tinggi 20 cm, tentukan volumenya !
Jawab :

Volume = 1   x 22   x 14² x 20
3 7
Volume = 1   x 616 x 20
3
Volume = 1   x 12.320
3
Volume = 4106,66 cm³

function luas1() {
var nilai1 = document.getElementById(“a”).value;
var nilai2 = document.getElementById(“b”).value;
var d = (Math.pow((nilai1),2) * 22/7 * (nilai2))/3;
document.getElementById(“result1”).innerHTML = d;}

Untuk memudahkan mencari volume dan luas permukaan tabung dapat menggunakan kalkulator sederhana dibawah ini. Silahkan masukan jari-jari (π = 22/7) dan tinggi kerucut kemudian hitung.
Masukan jari-jari, dan tinggi kerucut
Jari-jari :
Tinggi    :

Volume Kerucut :cm³

Luas dan Volume Tabung

Bangun Tabung. Dalam kehidupan sehari-hari sering kita temui benda di sekitar kita yang berbentuk tabung, misalnya drum minyak tanah, kaleng susu, beduk, dan masih banyak lainya. Apabila kita perhatikan, ternyata bagian atas dan bagian bawah tabung berbentuk lingkaran. Tabung atau disebut juga silinder adalah prisma yang alasnya berupa daerah lingkaran dan sisi tegaknya yang berbentuk bidang lengkung.

Bangun ini dapat dianggap sebagai prisma yang banyaknya sisi tegak tak terhingga. Tabung memiliki 3 sisi dan 2 rusuk. Tabung memiliki dua sisi berbentuk lingkaran dan satu sisi lengkung berbentuk persegi panjang. Rusuk pada tabung adalah perpotongan sisi lingkaran dengan sisi lengkung. Tabung tidak mempunyai titik sudut. Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.
Bangun tabung memiliki ciri-ciri sebagai berikut.

  • Tabung merupakan bangun ruang berupa prisma tegak dengan alas dan tutup berupa lingkaran,
  • Tinggi tabung adalah jarak titik pusat bidang lingkaran alas dengan titik pusat lingkaran atas,
  • Bidang tegak tabung berupa lengkungan yang disebut selimut tabung,
  • Jaring-jaring tabung tabung berupa 2 buah lingkaran dan 1 persegi panjang.

Luas Permukaan Tabung
Untuk mencari luas permukaan tabung dapat menggunakan jaring-jaring tabung. Jaring-jaring tersebut terdiri dari :

  • Selimut tabung yang berupa persegi panjang dengan panjang = keliling alas tabung = 2πr dan lebar = tinggi tabung = t, Luas = 2πrt.
  • Dua buah lingkaran (alas dan tutup) berjari-jari r. Luas =2πr²

Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan cara berikut :
Luas selimut tabung = keliling alas (p) x tinggi tabung (l)
                               = 2πr x t
                               = 2πrt
Luas alas dan tutup tabung = πr² + πr² = 2πr²
Luas permukaan tabung =Luas alas + tutup  + luas selimut tabung

Luas permukaan tabung = 2πr²+2πrt = 2πr(r+t)

Contoh soal :
Sebuah tabung memiliki tinggi 25 cm dan jari-jari alas tabung 14 cm, tentukan luas permukaan tabung !
Pembahasan :
Diketahui tinggi tabung 25 cm dan jari-jari alas tabung 14 cm
Luas permukaan tabung = 2πr(r+t)

Luas = 2 x 22 x 14 (14 +25) = 88 x 14 x 39 = 3.342 cm<²
7

Volume Tabung
Rumus volume tabung sama dengan luas alas dikalikan tinggi. Karena tabung memiliki alas berupa lingkaran maka volume tabung sama dengan luas alas lingkaran dikalikan tinggi. Sehingga rumus volume tabung adalah sebagai berikut :

Volume Tabung = πr²t

Contoh soal :
Diketahui tabung dengan jari-jari 7 cm dan tingginya 30 cm.Tentukan volume  tabung !
Jawab:
Diketahui tinggi = 20 cm dan jari-jari tabung = 7 cm
Volume tabung = πr²t

Volume = 22 x 7 x 7 x 20 = 22 x 7 x 20 = 154 x 20 = 3.080 cm³
7

function luas1() {
var nilai1 = document.getElementById(“a”).value;
var nilai2 = document.getElementById(“b”).value;
var d = ( Math.pow((nilai1),2) * 22/7 ) * eval(nilai2);
document.getElementById(“result1”).innerHTML = d;
var e = ( eval(nilai1)*2*22/7)*( eval (nilai1) + eval(nilai2));
document.getElementById(“result2”).innerHTML = e;
}

Untuk memudahkan mencari volume dan luas permukaan tabung dapat menggunakan kalkulator sederhana dibawah ini. Silahkan masukan jari-jari (π = 3.14) dan tinggi tabung kemudian hitung.

Masukan jari-jari, dan tinggi tabung
Jari-jari :
Tinggi    :

Volume Tabung :cm³
Luas Permukaan :cm²

Sisi Rusuk dan Titik Sudut Bangun Prisma

Bangun Prisma. Prisma merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 6 buah sisi yang memiliki panjang dan lebar. prisma Prisma dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Jumlah sisi tegaknya akan menyesuaikan dengan bentuk segi-n tutup/alasnya. Jika segi lima, maka jumlah sisi tegaknya 5, jika segi tiga maka jumlah sisi tegaknya 3, jika segi 6 maka jumlah sisi tegaknya 6 dan sterusnya.

Berdasarkan rusuk tegaknya, prisma dibedakan menjadi dua jenis, yaitu prisma tegak dan prisma miring atau prisma condong. Prisma tegak adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas, sedangkan prisma miring atau prisma condong adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas.

Berdasarkan bentuk alasnya, terdapat prisma segitiga, prisma segi empat, prisma segi lima, dan seterusnya. Jika alasnya berupa segi-n beraturan maka disebut prisma segi-n beraturan. Kubus dan balok dapat dipandang sebagai prisma tegak, yaitu prisma tegak segi empat. Setiap sisi kubus atau balok dapat dianggap sebagai bidang alas atau bidang atas, dan rusuk yang tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang atas sebagai rusuk tegaknya.

Unsur – unsur prisma

Unsur yang dimiliki prisma segi-lima ABCDE.FGHIJ adalah sebagai berikut:
  • Mempunyai 10 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, dan J
  • Mempunyai 15 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD, DE dan EA, Rusuk atas FG, GH, HI, IJ dan JF, Rusuk tegak FA. GH, HI, IJ dan JE
  • Mempunyai 7 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABCDE, Sisi atas FGHIJ, Sisi tegak ABGF, BCHG, CDIH, DEJI, dan AEJF   

Untuk prisma segi empat , segi lima…., Segi-n anda dapat menggunakan :

  • Banyak sisi/bidang prisma segi-n = n + 2
  • Banyak rusuk prisma segi-n = 3n
  • Banyak titik sudut prisma segi-n = 2n
  • dengan n = banyaknya sisi suatu segi banyak
Jumlah sisi, rusuk, dan titik sudut Prisma

Masukan segi prisma saja !

function Calc(hitung1){
var enternumber1 = document.hitung1.number1.value;
var enternumber1 = parseFloat(enternumber1, 10);
if (isNaN(enternumber1)|| (enternumber1

Jaring Jaring Limas

Limas merupakan bangun ruang yang dapat kita temukan di berbagai tempat di sekitar kita. Dalam kehidupan sehari-sehari, kita sering kali mendapatkan benda-benda yang berbentuk limas, misalnya: piramida, atap rumah, atap menara dan lain-lain.

Limas adalah bangun ruang yang alasnya berbentuk segi banyak (segitiga, segi empat, atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik. Titik potong dari sisi-sisi tegak limas disebut titik puncak limas. Pada limas diberi nama berdasarkan bentuk bidang alasnya.

Jika alasnya berbentuk segitiga, maka limas tersebut dinamakan limas segitiga. Jika alas limas berbentuk segiempat, maka limas tersebut disebut limas segiempat. Jika alas suatu limas berbentuk segi lima beraturan maka limas tersebut dinamakan limas segi lima beraturan. Benda-benda di sekitar kita juga ada yang berbentuk limas misalnya rumah joglo atapnya berbentuk limas segiempat.

Untuk dapat lebih memahami tentang unsur-unsur bangun limas dapat dilakukan dengan mempelajari unsur-unsur tersebut. Unsur-unsur yang terdapat pada bangun limas antara lain sebagai berikut.

Limas Segilima
  • Titik sudut merupakan pertemuan 2 rusuk atau lebih.
  • Rusuk yaitu garis yg merupakan perpotongan antara 2 sisi limas.
  • Bidang sisi yaitu bidang yg terdiri dari bidang alas dan bidang sisi tegak.
  • Bidang alas yaitu bidang yang merupakan alas dari suatu limas.
  • Bidang sisi tegak yaitu bidang yag memotong bidang alas.
  • Titik puncak yaitu titik yang merupakan titik persekutuan antara selimut-selimut limas.
  • Tinggi limas yaitu jarak antara bidanng alas dan titik puncak.

Jaring-jaring Limas Segitiga
Jaring-jaring merupakan bentuk dua dimensi dari suatu bangun tiga dimensi. Jaring-jaring limas dapat dibentuk dengan memotong beberapa rusuk limas.

Sebuah limas T.ABC apabila rusuk TA, TB, dan TC dipotong maka akan membentuk bidang datar yang disebut jaring-jaring limas segitiga.

Ciri Ciri Limas Segitiga

  • Mempunyai alas yang berbentuk segitiga.
  • Memiliki empat buah bidang sisi yaitu alas dan tiga buah sisi tegak.
  • Mempunyai enam buah rusuk.
  • Memiliki empat buah titik sudut.

Luas dan Volume Limas Segitiga
Rumus luas alas limas = 1/2 x a x t
Rumus luas permukaan limas = luas alas +  jumlah luas seluruh sisi tegak
Rumus volume limas segitiga yaitu V = 1/3 x (1/2 x Panjang x Lebar ) x Tinggi

Jaring-jaring Limas Segiempat
Sebuah limas T.ABCD apabila rusuk TA, TB, TC, dan TD dipotong maka akan membentuk bidang datar yang disebut jaring-jaring limas segiempat.

Ciri ciri limas segi empat antara lain sebagai berikut

  • Alasnya berbentuk segiempat.
  • Mempunyai lima buah bidang sisi.
  • Memiliki lima buah titik sudut.
  • Mempunyai delapan buah rusuk.

Luas dan Volume Limas Segiempat
Luas (L) = Luas alas + 4 x Luas sisi
Luas alas limas = sisi×sisi
Luas sisi tegak segitiga = (½×alas×tinggi)×4

Volume limas segiempat =1/3 x Panjang x Lebar x Tinggi atau Volume (V) = 1/3 x Luas Alas x Tinggi.

Jaring-jaring Limas Segilima
Sebuah limas T.ABCDE dipotong rusuk-rusuknya BA, AE, ED, DC dan TE. akan membentuk bidang datar yang disebut jaring-jaring limas segilima.

Demikian tulisan mengenai unsur dan jaring-jaring limas yang dapat saya tulis, semoga dapat memabntu anda.

Jaring Jaring Kubus

Jaring Jaring Kubus. Jika kita amati kotak kardus yang berbentuk kubus, maka sebenarnya pada kubus tersebut adalah terbentuk dari 6 (enam) buah bangun datar persegi. Kubus merupakan bangun ruang istimewa karena dibentuk oleh enam sisi bangun datar yang kongruen (persegi) sehingga jaring-jaringnya pun akan merupakan rangkaian enam buah persegi yang disusun sedemikian rupa sehingga membentuk sebuah bangun ruang berbentuk kubus. 
Jaring-jaring kubus terdiri dari 11 model dengan pola sebagai berikut : 
  • Pola 1-4-1 sebanyak 6 macam. Pola 1-4-1 berarti jaring-jaring kubus terdiri atas rangkaian empat persegi pada satu baris di bagian tengah diikuti dengan masing-masing 1 persegi pada sebelah menyebelah rangkaian empat persegi tersebut.
  • Pola 2-3-1 sebanyak 3 macam. Pola 2-3-1 berarti jaring-jaring kubus terdiri atas rangkaian tiga persegi pada satu baris di bagian tengah diikuti dengan dua persegi pada bagian atas dan satu persegi pada bagian bawah rangkaian tiga persegi tadi.
  • Pola 2-2-2 sebanyak satu macam. Pola 2-2-2 berarti jaring-jaring kubus terdiri atas rangkaian dua buah persegi pada satu baris dibagian tengah diikuti dengan dua buah persegi pada bagian atas dan dua buah persegi pada bagian bawah.
  • Pola 3-3 sebanyak 1 macam. Pola 3-3 berarti jaring-jaring kubus terdiri dari tiga buah persegi pada satu baris diikuti dengan tiga buah persegi pada bagian atas.
Cara menemukan rangkaian yang merupakan jaring-jaring sebuah kubus dengan cara memotong pada rusuk-rusuknya. Berikut ini beberapa contoh  jaring-jaring kubus.

Model Jaring-jaring Kubus

Jaring Jaring Balok

Jaring-jaring Balok. Ada beberapa bentuk bangun ruang yang sering kita temui di sekitar kita. Salah satu bentuk bangun ruang tersebut adalah balok. Balok adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh 6 persegi panjang , di mana setiap sisi persegipanjang berimpit dengan tepat satu sisi persegipanjang yang lain dan persegipanjang yang sehadap adalah kongruen. Bangun berbentuk balok dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, antara lain :

  • Sebuah lemari yang berbentuk balok
  • Brankas besi yang berbentuk balok
  • Kotak speaker yang berbentuk balok

Jaring-jaring balok pada dasarnya sama seperti jaring-jaring kubus. Hanya pada balok dapat saja seluruh sisinya tidak berbentuk persegi tapi gabungan antara  persegi dengan persegi panjang atau persegi panjang dengan persegi panjang.  Jaring-jaring balok terdiri dari rangkaian enam persegipanjang yang dua-dua sama bentuk dan ukurannya. Cara menemukan rangkaian yang merupakan jaring-jaring sebuah balok dengan cara memotong pada rusuk-rusuknya. Berikut ini beberapa contoh  jaring-jaring balok
// ——————————————————————-
// Virtual Pagination Script- By Dynamic Drive, available at: http://www.dynamicdrive.com
// Updated: Nov 21st, 2008 to v2.0
// ** Adds ability to define multiple pagination DIVs (the secondary DIVs mirror primary DIV’s contents)
// ** Last viewed page persistence, so last viewed page can be remembered/ recalled within browser session.
// ** Improvements to instance.navigate() to select a page using an arbitrary link or inside another script.
// ** Ability to select a page using a URL parameter (ie: target.htm?virtualpiececlass=index).
// Updated: Oct 19th, 2009 to v2.1
// ** New wraparound:true/false option added, which when false disables moving back/forth beyond first and last content, respectively
//
// PUBLIC: virtualpaginate()
// Main Virtual Paginate Object function.
// ——————————————————————-
document.write(” //write out CSS for class “.hidepeice” that hides pieces of contents within pages
+’.hidepiece{display:none}n’
+’@media print{.hidepiece{display:block !important;}}n’
+”)
function virtualpaginate(config){ //config: {piececlass:, piececontainer:, pieces_per_page:, defaultpage:, wraparound:, persist}
this.piececlass=config.piececlass
var elementType=(typeof config.piececontainer==”undefined”)? “div” : config.piececontainer //The type of element used to divide up content into pieces. Defaults to
“div”
this.pieces=virtualpaginate.collectElementbyClass(config.piececlass, elementType) //get total number of divs matching class name
//Set this.chunksize: 1 if “chunksize” param is undefined, “chunksize” if it’s less than total pieces available, or simply total pieces avail (show all)
this.chunksize=(typeof config.pieces_per_page==”undefined”)? 1 : (config.pieces_per_page>0 && config.pieces_per_page0) //if there are links defined in div
this.paginate_build_regularlinks(paginatediv.getElementsByTagName(“a”))
var allspans=paginatediv.getElementsByTagName(“span”) //Look for span tags within passed div
for (var i=0; i

Volume dan Luas Permukaan Kubus

Bangun Kubus. Benda-benda di sekitar kita ada yang berbentuk kubus, diantaranya adalah dadu, permainan rubik, bak mandi, dan masih banyak yang lainnya. Kubus merupakan bangun ruang istimewa karena dibentuk oleh enam sisi bangun datar yang kongruen (persegi) sehingga jaring-jaringnya pun akan merupakan rangkaian enam buah persegi.

Sebelum membahas lebih jauh tentang bangun ruang kubus, ada baiknya jika kita membahas bagian-bagian bangun ruang kubus terlebih dahulu. Ada beberapa bagian bangun ruang kubusyang perlu kita ketahui diantaranya adalah sisi, rusuk, dan titik sudut, diagonal sisi, diagonal ruang, dan bidang diagonal .

  • Sisi adalah bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan ruangan di sekitarnya. 
  • Rusuk adalah pertemuan dua sisi yang berupa ruas garis pada bangun ruang. 
  • Titik sudut adalah titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih.
  • Diagonal sisi sebuah kubus adalah garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada tiap sisi kubus. 
  • Diagonal ruang suatu kubus adalah ruas garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang berhadapan pada suatu bangun ruang. 
  • Bidang diagonal sebuah kubus adalah bidang yang melalui dua rusuk yang berhadapan.

Sifat-sifat Kubus

  • Mempunyai 6 buah sisi yang kongruen (mempunyai sisi-sisi, sama (ukurannya sama), bentuknya sama dan sudutnya pun sama) berbentuk persegi. Yaitu : sisi bawah =ABCD, sisi atas=EFGH, sisi depan=ABEF, sisi belakang=CDGH, sisi kiri=ADEH, dan sisi kanan=BCFG
  • Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang, yaitu: AB, BC, CD, AD = rusuk alas, EF, FG, GH, EH = rusuk atas, AE, BF, CG, DH = rusuk tegak
  • Mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu: A, B, C, D, E, F, G, dan H.
  • Pasangan sisi kubus yang berhadapan saling sejajar, sedangkan sisi kubus yang berpotongan saling tegak lurus.
  • Mempunyai 4 buah diagonal ruang, yaitu: EC, HB, AG, dan DF
  • Mempunyai 12 buah bidang diagonal, yaitu: AF, BE, DG, CH, AH, DE, BG, CF, AC, BD, EG, dan HF
  • Mempunyai 4 buah diagonal bidang, yaitu: BCHE,ABGH,CDEF, dan ADGF.

Volume dan Luas Permukaan Kubus

  • Volume kubus dapat dicari dengan mengalikan sisi x sisis x sisi, ditulis dengan rumus :

V=s³

Contoh soal :
Sebuah kubus memiliki panjang sisi 15 cm, maka Volume = 15³ = 3.375 cm³

  • Luas permukaan kubus dapat dicari dengan menjumlahkan keenam sisinya yang berbentuk persegi, ditulis dengan rumus 6 x (sisi x sisi) atau :

L = 6.s²

Contoh soal :
Sebuah kubus memiliki panjang sisi 20 cm, maka luas permukaan = 6.20² = 6 x 400 cm² =2.400 cm²
function luas1() {
var nilai1 = document.getElementById(“a”).value;
var d = ( eval(nilai1) * eval(nilai1) * eval(nilai1));
document.getElementById(“result1”).innerHTML = d;
var e = ( eval(nilai1) * eval(nilai1)*6 );
document.getElementById(“result2”).innerHTML = e;
var f = ( eval(nilai1)*12 );
document.getElementById(“result3”).innerHTML = f;
}

Untuk memudahkan menemukan volume, luas permukaan, dan panjang rusuk kubus keseluruhan dapat mengunakan kalkulator sederhana di bawah ini. Silahkan masukan panjang rusuk kubus kilk “hitung” maka volume, luas permukaan, dan panjang rusuk kubus keseluruhan akan dapat ditemukan.

Sisi (s)          :

Volume Kubus :cm³
Luas Permukaan Kubus :cm²
Panjang Rusuk Keseluruhan :cm

Luas dan Keliling Persegi Panjang

Bangun Datar Persegi Panjang. Apabila kita perhatikan, di sekitar kita ternyata banyak sekali benda yang berbentuk persegi panjang. Misalnya meja, buku gambar, papan tulis, dan lain sebagainya. Sebelum membahas bangun persegi panjang ini, ada baiknya kita lihat terlebih dahulu pengertian dari bangun datar persegi panjang. Ada yang mendefinisikan persegi panjang, yaitu bangun datar yang mempunyai sisi berhadapan yang sama panjang, dan memiliki empat buah titik sudut siku-siku.

Ada juga yang mendefinisikan persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang (p) dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar (l). Persegi panjang yang keempat rusuknya sama panjang disebut sebagai persegi. Setelah melihat definisi dari persegi panjang, ternyata persegi panjang memiliki beberapa kesamaan sifat dengan persegi.

Sifat – sifat Persegi Panjang :

  • Memiliki 4 sisi, dan 4 titik sudut,
  • Memiliki 2 pasang sisi sejajar, berhadapan dan sama panjang, AB = CD dan AB//CD, dan AD = BC dan AD//BC.
  • Memiliki 4 sudut yang besarnya 90 °, <ABC, <BCD, <ADC, <BAD = 90°
  • Keempat sudutnya siku-siku
  • Memiliki 2 diagonal yang sama panjang, AC = BD
  • Memiliki 2 simetri lipat
  • Memiliki Simetri putar tingkat 2

Luas dan Keliling Persegi Panjang
Luas persegi panjang dapat dicari dengan rumus :

Luas = p x l

Keliling persegi panjang dapat dicari dengan rumus :

Keliling = 2(p+l)

Contoh Soal :
Suatu persegi panjang memiliki panjang 10 cm dan lebar 5 cm. Tentukan luas dan keliling persegi panjang tersebut 1

Pembahasan :
Luas = p x l = 10 x 5 = 50 cm²
Keliling = 2(p+l) = 2(10+5) = 2 x 15 = 30 cm

Untuk mempermudah mencari luas dan keliling persegi panjang dapat menggunakan kalkulator sederhana di bawahini. Masukkan nilai panjang (p) dan nilai lebar (l),Mencari Luas, dan Keliling persegi panjang (cm):
function luas1() {
var nilai1 = document.getElementById(“a”).value;
var nilai2 = document.getElementById(“b”).value;
var d = ( eval(nilai1) * eval(nilai2) );
document.getElementById(“result1”).innerHTML = d;
var e = ( eval(nilai1)*2 )+( eval (nilai2)*2);
document.getElementById(“result2”).innerHTML = e;
}

Masukan Nilai Panjang dan lebar
Panjang (p) :
Lebar      (l) :

Luas Persegi Panjang :cm²
Keliling Persegi Panjang :cm

Luas Belah Ketupat

Bangun Datar Belah Ketupat. Kata ketupat sudah tidak asing lagi bagi kita. Ketupat sering kita temui saat Hari Raya Lebaran. Ketupat merupakan makanan khas saat kita merayakan Lebaran. Dalam matematika juga ada bangun datar bernama belah ketupat. Belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya. Ada juga yang memberikan pengertian sebagai berikut belah ketupat yaitu segi empat yang semua sisinya sama panjang dan kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus.

Sifat – sifat :

  • Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut.
  • Keempat sisinya sama panjang, AB = BC = CD = AD
  • Memiliki 2 pasang sudut yang berhadapan sama besar, <ADC =<ABC
  • Diagonalnya berpotongan tegak lurus, AC⊥BD.
  • Memiliki 2 simetri lipat
  • Memiliki simetri putar tingkat 2
  • Luas = ½ AC x BD atau ½ d 1x d2
  • Keliling = AB + BC + CD + AD

Luas belah ketupat
Untuk menemukan rumus belah ketupat dilakukan pemotong dan penggeseran dengan mengikuti langkah-langkah berikut.

  • Potong belah ketupat sepanjang diagonal mendatar (horisontal).
  • Potong segitiga bawah hasil pemotongan pada langkah a) sepanjang diagonal tegak (vertikal).
  • Putar segitiga kiri bawah sejauh 180° searah jarum jam, lalu geser potongan segitiga kiri bawah, dan kemudian letakkan di sebelah kiri segitiga atas.
  • Putar segitiga kanan bawah sejauh 180° berlawanan arah jarum jam, lalu geser potongan segitiga kanan bawah, dan kemudian letakkan di sebelah kanan segitiga atas.

Luas belah ketupat = a x b/2 = ½ x a x b.

function luas1() {
var nilai1 = document.getElementById(“a”).value;
var nilai2 = document.getElementById(“b”).value;
var d = ( eval(nilai2) * eval(nilai1))*0.5;
document.getElementById(“result1”).innerHTML = d;
}

Masukan d1  dan d2 belah ketupat
diagonal1 :
diagonal2 :

Luas belah ketupat :cm²

Rumus Luas Bangun Datar

Rumus luas bangun datar. Luas bangun datar merupakan salah satu materi pada mata pelajaran matematika di Sekolah Dasar. Bentuk bangun datar yang diajarkan di Sekolah Dasar antara lain, persegi panjang, persegi, segitiga, trapesium, layang-layang, jajar genjang, belah ketupat dan lingkaran. Kedelapan bangun datar tersebut memiliki unsur-unsur yang perlu diketahui sebelum kita mencari luas bangun datar tersebut. Unsur atau bagian dari bangun datar tersebut antara lain sebagai berikut :

  • Luas adalah besaran yang menyatakan ukuran dua dimensi suatu bagian permukaan yang dibatasi dengan jelas. Pada bangun persegi panjang luas dapat dicari dengan mengalikan panjang dengan lebar.
  • Panjang adalah ukuran suatu benda yang menyatakan jarak antar ujung. 
  • Tinggi adalah pengukuran secara vertikal dari suatu benda.
  • Lebar adalah jarak dari satu sisi ke sisi yang satu dengan yang lain, diukur pada sudut tegak lurus terhadap panjang benda.
  • Sisi adalah garis lurus yang membatasi suatu bidang.
  • Alas adalah bagian dasar dari suatu bangun datar.
  • Diagonal merupakan garis yang menghubungkan dua titik sudut yg tidak bersebelahan dalam suatu segi empat.
  • Diameter adalah garis lurus melalui titik tengah lingkaran dari satu sisi ke sisi lainnya atau garis tengah.
  • Phi adalah sebuah tetapan dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. 
  • Jari-jari atau radius sebuah lingkaran adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan satu titik pada lingkaran tersebut. 

Untuk mencari luas sebuah bangun datar apabila dua unsur-unsurnya telah diketahui, dapat menggunakan rumus-rumus di bawah ini.

No. Nama Bangun Rumus Luas dan Unsur Bangun Datar
1. Persegi panjang

Panjang = p, Lebar = l
Luas = panjang x lebar

Panjang = Luas
Lebar
Lebar = Luas
Panjang
2. Persegi Pajang sisi = s
Luas = sisi x sisi
Sisi = √Luas
3. Segitiga Alas = a, Tinggi = t

Luas = 1 x alas x tinggi
2
Alas = 2 x Luas
tinggi
Tinggi = 2 x Luas
alas
4. Trapesium Sisi a = a sisi b = b, tinggi = t

Luas = (a + b ) x tinggi
2
Sisi a = 2 x luas – sisi b
tinggi
Sisi b = 2 x luas – sisi a
tinggi
Tinggi = 2 x luas
(a + b)
5. Layang-layang Diagonal panjang = d1, diagonal pendek = d2

Luas = 1 x d1x d2
2
d1 = 2 x luas
d2
d2= 2 x luas
d1
6. Jajargenjang Alas = a, tinggi = t
Luas = alas x tinggi

Alas = Luas
Tinggi = Luas
Alas
7. Belah ketupat Diagonal panjang = d1, diagonal pendek = d2

Luas = d1x d2
d1= Luas
d2
d2 = Luas
d1
8. Lingkaran Jari-jari = r, Diameter = d , π =22/7 atau 3,14

Luas = 1 x πr²
2

r = √(Luas x 7 : 22)
d = √(Luas x 7 : 22) x 2

Luas Layang Layang

Bangun Datar Layang Layang. Salah satu mainan yang sering kita mainkan adalah layang-layang. Sangat mengasyikan memang, dan murah meriah tentunya. Pada tulisan ini bukan bermain layang-layang yang akan saya bahas, tetapi bangun datar yang berbentuk layang-layang. Banyak juga benda-benda di sekitar kita yang berbentuk layang-layang, antara lain layang-layang itu sendiri, hiasan pada pintu dan jendela juga ada yang berbentuk layang-layang, dan masih banyak yang lainnya. Layang- layang yaitu segi empat yang salah satu diagonalnya memotong tegak lurus sumbu diagonal lainnya. Ada juga yang memberikan pengertian layang-layang adalah segi empat yang dibentuk dari gabungan dua buah segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berimpit.

Sifat – sifat :

  • Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
  • Memiliki 2 pasang sisi yang sama panjang (AB = AD) dan BC = CD
  • Memiliki 2 sudut yang sama besar, <ABC = <ADC
  • Diagonalnya berpotongan tegak lurus, AC ⊥ BD
  • Salah satu diagonalnya membagi diagonal yang lain sama panjang
  • Memiliki 1 simetri lipat.   
  • Luas = ½ x AC x BD atau ½ x d1 x d2
  • Keliling = 2 (AB + BC) 

Luas Layang-layang
Untuk menemukan rumus layang-layang dapat ditemukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

  • Lipatlah  dan potong layang-layang sepanjang diagonal b.
  • Putar segitiga kiri bawah sejauh 180° searah jarum jam, lalu geser potongan segitiga kiri bawah, dan kemudian letakkan di sebelah kiri segitiga atas.
  • Putar segitiga kanan bawah sejauh 180° berlawanan arah jarum jam, lalu geser potongan segitiga kanan bawah, dan kemudian letakkan di sebelah kanan segitiga atas.

Jadi luas layang-layang = a x ½ b = ½ a x b
function luas1() {
var nilai1 = document.getElementById(“a”).value;
var nilai2 = document.getElementById(“b”).value;
var d = ( eval(nilai2) * eval(nilai1))*0.5;
document.getElementById(“result1”).innerHTML = d;
}

Masukan  d1 dan d2 layang-layang
diagonal1    :
diagonal2     :

Luas Layang-layang :cm²

Luas dan Keliling Lingkaran

Bangun Datar Lingkaran. Benda – benda di sekitar kita banyak yang berbentuk lingkaran, misalnya roda sepeda, jam dinding, uang logam, stir mobil dan masih banyak yang lainnya. Banyak sekali pengertian tentang lingkaran. Pengertian yang saya berikan ini bersumber dari id.wkipedia.org. “Lingkaran adalah suatu garis lengkung yang kedua ujungnya dan semua titik yang terletak pada garis lengkung tersebut mempunyai jarak yang sama jauh terhadap suatu titik tertentu.,”

Pada sebuah bangun lingkaran terdapat bagian-bagian lingkaran. Lingkaran memiliki beberapa bagian, seperti di bawah ini :

  • Titik A, B, dan C terletak sama jauh terhadap titik P (pusat lingkaran).
  • Titik P merupakan titik pusat lingkaran.
  • Panjang garis lengkung yang kedua ujungnya bertemu disebut keliling lingkaran.
  • Daerah yang terdapat di dalam lingkaran disebut luas lingkaran.
  • PA, PB, dan PC disebut jari-jari atau radius (r). Jari-jari lingkaran adalah  ½ diameter.
  • AB adalah garis tengah atau diameter (d) garis lurus yang menghubungkan 2 titik pada lingkaran dan melalui pusat lingkaran (titik P)
Bagian Lingkaran

Simbol yang bernama pi. π (pi) adalah hasil perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameter lingkaran. Nilai π yang lazim digunakan adalah 3,14 atau 22/7. Nilai π sampai 10 tempat desimal adalah 3,14159265358. Pengunaan kedua nilai π tersebut untuk mempermudah dalam mencari luas dan keliling lingkaran, misal jari-jari lingkaran merupakan kelipatan 7 seperti 7, 14, 21, 28 dan seterusnya akan lebih mudah jika menggunakan 22/7. Sedangkan bilangan yang bukan kelipatan 7 akan lebih mudah menggunakan 3,14.

Sifat-sifat Lingkaran
Berikut sifat bangun datar lingkaran

  • Tidak mempunyai titik sudut;
  • Terbentuk dari sebuah garis lengkung yang teratur;
  • Memiliki simetri lipat tidak terhingga;
  • Memiliki simetri putar tidak terhingga;

Luas dan Keliling Lingkaran
Luas = π x r x r atau πr²Keliling = 2πr atau πd

Contoh soal :
Sebuah lingkaran memiliki jari jari 14 cm. Tentukan luas dan kelilingnya !
Pembahasan :
Diketahui jari-jari 14 cm
Luas = πr²

Luas = 22 x 14² = 22 x 196 = 22 x 28 = 616 cm²
7 7

Keliling = 2πr

Keliling = 2 x 22 x 14 = 44 x 14 = 44 x 2 = 88 cm²
7 7

Untuk mencari luas dan keliling lingkaran, silahkan masukan jari-jari lingkaran kemudian klik hitung.(π =3,14)

Luas dan Keliling Lingkaran
function Calc(hitung1){
var enternumber1 = document.hitung1.number1.value;
var enternumber1 = parseFloat(enternumber1, 10);
if (isNaN(enternumber1)|| (enternumber1

Luas dan Keliling Persegi

Bangun Datar Persegi. Perhatikan benda-benda di sekitar kita yang berbentuk persegi atau bujursangkar. Ternyata banyak sekali benda yang berbentuk persegi, contoh : ubin (tegel), keramik, buku, laptop dan masih banyak yang lainnya. Persegi adalah persegi panjang yang dua sisi berturutannya sama panjang, yang ekuivalen dengan persegi adalah segiempat dengan sifat kedua pasang sisi berhadapan saling sejajar, salah satu sudutnya siku-siku dan dua sisi yang berturutan sama panjang. Berdasarkan pengertian persegi diperoleh sifat –sifat persegi yang selengkapnya dinyatakan sebagai berikut.

Sifat-sifat Persegi

  • Keempat sisi sama panjang dan sisi yang berhadapan sejajar. AB = BC = CD = AD, AB // DC, AD //BC
  • Kedua diagonalnya sama panjang AC = BD
  • Kedua diagonalnya berpotongan dan membagi dua sama panjang AE = BE = CE = DE 
  • Kedua diagonalnya berpotongan membentuk sudut siku-siku AED = 90°
  • Sudut-sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya
  • Menempati bingkainya dengan 4 cara.
  • Mempunyai 4 sumbu simetri.

Luas dan keliling persegi
Luas = s x s = s² (s = sisi )
Kelililing = 4 x s
Contoh soal :
Sebuah persegi memiliki panjang sisi 15 cm. Tentukan luas dan kelilingnya !
Pembahasan :
Diketahui panjang sisi 15 cm.
Luas = s x s = 15 x 15 = 225 cm²
Kelililing = 4 x s = 4 x 15 = 60 cm
Untuk mempermudah mencari luas dan keliling persegi dapat dilakukan dengan cara memasukan panjang sisi pada kalkulator sederhana ini, lalu klik hitung.

Luas dan Keliling Persegi
function Calc(hitung1){
var enternumber1 = document.hitung1.number1.value;
var enternumber1 = parseFloat(enternumber1, 10);
if (isNaN(enternumber1)|| (enternumber1

Mencari Luas Jajargenjang

Bangun Datar Jajargenjang. Benda-benda di sekitar kita yang berbentuk jajargenjang antara lain adalah jendela kaca mobil, hiasan dinding, kue lapis yang sudah dipotong-potong, dan lain sebagainya. Jajar genjang atau disebut juga dengan Jajaran genjang adalah sebuah bangun datar dua dimensi yang terbentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya. Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat. Ada juga yang mendefinisikan jajar genjang adalah segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama panjang dan sejajar.

Sifat-sifat :

  1. Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
  2. Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang
  3. Memiliki 2 sudut tumpul dan 2 sudut lancip
  4. Sudut yang berhadapan sama besar
  5. Diagonalnya tidak sama panjang
  6. Tidak memiliki simetri lipat
  7. Memiliki simetri putar tingkat 2
Jajargenjang

Luas dan keliling jajargenjang
Luas jajargenjang dapat dicari dengan menggunakan rumus persegipanjang. Dalam penemuan rumus jajargenjang sediakan sebuah persegipanjang yang mempunyai panjang = p, lebar = l.

  1. Persegipanjang ke-1 merupakan bangun sebelum dipotong.
  2. Persegipanjang ke-2 dipotong mulai dari sudut pada sisi atas sampai memotong persegipanjang yang diarsir.
    Geser potongan tersebut sehingga bentuk menjadi jajargenjang dengan alas p dan tingi = l

Untuk dapat mencari keliling jajargenjang selain alas perlu dicari terlebih dahulu kedua sisi miring. Sisi miring jajargenjang dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras. Perhatikan gambar di bawah

  1. Sisi AB disebut juga dengan sisi c, sebab berhadapan dengan sudut C.
  2. Sisi BC disebut juga dengan sisi a, sebab berhadapan dengan sudut A.
  3. Sisi AC disebut juga dengan sisi b, sebab berhadapan dengan sudut B.

Kuadrat sisi AB = kuadrat sisi AC + kuadrat sisi BC. atau AB² = AC² + BC² atau c² = a² + b²
Rumus untuk mencari panjang sisi alas yaitu: a² = c² – b²
Rumus untuk mencari sisi samping yaitu:b² = c² – a²
Contoh : Perhatikan gambar segitiga di atas !
c²= a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = √25 = 5 cm,
jadi c = 5 cm

Contoh soal :
Sebuah Jajargenjang memiliki alas 5 cm, tinggi 4 cm, dan sisimiring 5 cm.
Tentukan luas dan keliling jajargenjang tersebut.

Pembahasan :
Luas = alas x tinggi = 5 x 4 = 20 cm
Keliling = (2 x alas ) + (2 x sisimiring) = (2 x 5) + (2 x 5) = 10 +10 =20 cm²

Luas dan Keliling Jajargenjang
function luas1() {
var nilai1 = document.getElementById(“a”).value;
var nilai2 = document.getElementById(“b”).value;
var nilai3 = document.getElementById(“c”).value;
var d = ( eval(nilai1) * eval(nilai2));
var e = ( eval(nilai1)*2 + eval(nilai3)*2);
document.getElementById(“result1”).innerHTML = d;
document.getElementById(“result2”).innerHTML = e;
}

Mencari Luas dan Keliling

Masukan Nilai Alas, tinggi , dan sisi miring Jajargenjang
Alas          (a) :
Tinggi       (t) :
Sisi miring(s):

Luas Jajargenjang : cm²
Keliling Jajargenjang : cm

Mencari Sisimiring

function Calc(etung){
var enternumber1 = document.etung.number1.value;
var enternumber1 = parseFloat(enternumber1, 10);
if ( (enternumber1

Mencari Luas Segitiga

Bangun Datar Segitiga. Dalam kehidupan sehari-hari sering kita temui benda-benda di sekitar kita yang berbentuk segitiga, antara lain : jam dinding, penggaris segitiga, rambu lalu lintas, dan lain sebagainya. Segitiga adalah bangun datar yang terdiri atas tiga titik yang berbeda yang tidak segaris dan tiga ruas garis yang masing-masing menghubungkan sembarang dari tiga titik itu. Segitiga dapat digolongkan berdasarkan besar sudutnya dan berdasarkan panjang sisinya. Berikut ini penggolongan segitiga berdasarkan titik sudut dan sisinya.

Beberapa contoh benda di sekitar kita yang berbentuk segitiga antara lain : jam dinding, atap rumah, gantungan baju (hanger), piala, medali, jepitan rambut, rambu lalu lintas, bentuk kue, penggaris bentuk segitiga, pigura dan masih banyak yang lainnya.

Jenis-Jenis Segitiga
Bangun segitiga dapat dikelompokkan berdasarkan besar sudutnya dan juga panjang sisi-sisinya. Berikut ini adalah pengelompokkan berbagai jenis segitiga.

Jenis Segitiga

1. Jenis Segitiga Berdasarkan Besar Sudutnya
Penggolongan segitiga berdasarkan besar sudutnya berarti melihat apakah sudut-sudut segitiga itu adalah semuanya lancip, salah satunya sudut siku-siku, ataukah salah satunya sudut tumpul. Ada tiga jenis segitiga berdasarkan besar sudutnya yaitu sebagai berikut :

  • Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip (<90°)
  • Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (90° )
  • Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul (<90° ).

2. Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisinya
Penggolongan segitiga berdasarkan panjang sisinya berarti melihat apakah ada di antara sisi-sisi segitiga itu yang sama panjang. Ada tiga jenis segitiga yang berdasarkan panjang sisinya yaitu sebagai berkut :

a. Segitiga samasisi
Tiga buah garis lurus yang sama panjang dapat membentuk sebuah segitiga sama sisi dengan cara

mempertemukan setiap ujung garis satu sama lainnya. Segitiga samasisi adalah segitiga yamg semua sisinya sama panjang yaitu antara sisi AB = BC = CA. Berikut ini adalaah sifat-sifat segitiga samasisi:

  • Mempunyai 3 buah sisi sama panjang, yaitu AB=BC=CA;
  • Mempunyai 3 buah sudut yang besar , <ABC , <BCA, <CAB;
  • Mempunyai 3 sumbu simetri.

b. Segitiga samakaki
Segitiga samakaki adalah segitiga yang dua sisinya sama panjang yaitu pada sisi KL sama panjang dengan sisi KM. Dua buah segitiga siku-siku yang kongruen dapat membentuk sebuah segitiga sama kaki dengan mengimpitkan salah satu sisi siku-siku yang sama panjang dari kedua segitiga tersebut. Pada segitiga samakaki :

  • Sisi-sisi yang sama panjang disebut kaki;
  • Sisi lainya disebut alas;
  • Dua sudut pada sisi alas disebut sudut atas;
  • Sudut selain sudut alas disebut sudut puncak;

Sifat-sifat segitiga samakaki :

  • Mempunyai 2 buah sisi yang sama panjang, yaitu BC=AC;
  • Mempunyai 2 buah sudut sama besar, yaitu <BAC, dan ;<ABC
  • Mempunyai 1 sumbu simetri
  • Dapat menempati bingkainya dalam dua cara

c. Segitiga siku-siku
Segitiga siku-siku dapat dibentuk dari sebuah persegi panjang dengan menarik salah satu garis diagonalnya.

Sifat-sifat segitiga siku-siku adalah :

  • Mempunyai 1 buah sudut siku-siku,yaitu < BAC
  • Mempunyai 2 buah sisi yang saling tegak lurus, yaitu BA dan AC;
  • Mempunyai 1 buah sisi miring yaitu BC;
  • Sisi miring selalu terdapat di depan sudut siku-siku.
  • Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A² + B² = C² )

d. Segitiga sembarang
Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang. Segitiga sembarang memiliki sifat-

sifat sebagai berikut :

  • Mempunyai 3 buah sisi yang tidak sama panjang;
  • Mempunyai 3 buah sudut yang tidak sama besar.

Luas Segitiga
Untuk mencari luas segitiga ada dua unsur yang harus diketahui terlebih dahulu, yaitu alas dan tinggi. Alas adalah panjang bagian bawah segitiga jika segitiga tersebut ditegakkan dengan sudut siku 90 derajat. Tinggi segitiga adalah panjang bagian sisi tegak lurus 90 derajat terhadap alas. Secara umum luas segitiga dan unsur-unsurnya dapat dicari dengan rumus :

Luas = 1 x alas x tinggi
2
Alas = Luas x 2
Tinggi
Tinggi = Luas x 2
Alas

function luas1() {
var nilai1 = document.getElementById(“a”).value;
var nilai2 = document.getElementById(“b”).value;
var d = ( eval(nilai1)/2 ) * eval(nilai2);
document.getElementById(“result1”).innerHTML = d;
}

Masukan Nilai Alas, dan tinggi segitiga
Alas (a)     :
 Tinggi (t) :

Luas Segitiga :cm²

Mencari Luas Trapesium

Bangun Datar Trapesium. Trapesium adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua di antaranya saling sejajar namun tidak sama panjang. Trapesium termasuk jenis bangun datar segi empat. Trapesium yang rusuk ketiganya tegak lurus terhadap rusuk-rusuk sejajar disebut trapesium siku-siku. Trapesium terdiri dari 3 jenis, yaitu:

1. Trapesium Sembarang
Trapesium sembarang, yaitu trapesium yang keempat rusuknya tidak sama panjang. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat dan simetri putar. Beberapa sifat yang dimiliki oleh trapesium sembarang antara lain sebagai berikut.

  • Mempunyai sepasang sisi sejajar yang berhadapan yang panjangnya tidak sama.
  •  Mempunyai empat sudut yang besarnya tidak sama.
  •  Mempunyai dua buah diagonal yang berbeda panjangnya.

2. Trapesium Samakaki
Trapesium sama kaki, yaitu trapesium yang mempunyai sepasang rusuk yang sama panjang, di samping mempunyai sepasang rusuk yang sejajar. Trapesium ini memiliki 1 simetri lipat. Beberapa siftat bangun trapesium samakaki antara lain sebagai berikut.

  • Mempunyai dua buah sisi (kaki ) yang sama panjangnya dan dua buah sisi sejajar yang panjangnya berbeda. 
  • Mempunyai dua buah sudut yang berdekatan yang besarnya sama.
  • Mempunyai dua buah diagonal yang panjangnya sama.
Jenis Trapesium

3. Trapesium Siku -siku
Trapesium siku-siku, yaitu trapesium yang mana dua di antara keempat sudutnya merupakan sudut siku-siku. Rusuk-rusuk yang sejajar tegak lurus dengan tinggi trapesium ini. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat dan simetri putar. Beberapa sifat bangun trapesium siku-siku antara lain sebagai berikut.

  1. Mempunyai sepasang sisi sejajar yang berhadapan yang panjangnya tidak sama.
  2. Mempunyai dua buah sudut siku-siku yang berdekatan.
  3. Mempunyai dua buah diagonal yang berbeda panjangnya.

Sifat -sifat Uum Trapesium

  • Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut
  • Memiliki sepasang sisi yang sejajar tetapi tidak sama panjang
  • Sudut – sudut diantara sisi sejajar besarnya 180 derajat

Beberapa contoh benda di sekitar kita yang memiliki bentuk trapesium antara lain. Sebuah tas tangan (handbag) sering dirancang dengan dua trapesium sebagai sisi terbesar dari tas. Bagian atas dan bawah dari setiap sisi sejajar, tetapi tepi atas biasanya lebih pendek dari tepi bawah.

Contoh lainnya adalah jembatan rangka batang . Pada bidang arsitektur, bentuk trapesium tampak dari sepanjang sisi yang menghubungkan dasar jembatan dengan struktur bagian atas. Baja atau aluminium mendukung membentuk trapesium yang berdekatan, dengan dua sisi sejajar menjadi bagian atas dan bawah dari sisi jembatan.

Luas Trapesium
Luas trapesium diperoleh dengan cara mentukan panjang kedua alas. Alas adalah dua sisi sejajar trapesium. Tambahkan panjang kedua alas.  Tentukan tinggi trapesium. Tinggi trapesium tegak lurus terhadap alas.  Kalikan jumlah panjang alas dengan tinggi. Bagikan hasilnya dengan dua. Untuk mencari luas trapesium menggunakan rumus sebagai berikut :

Luas = (a + b) x tinggi
2

function luas1() {
var nilai1 = document.getElementById(“a”).value;
var nilai2 = document.getElementById(“b”).value;
var nilai3 = document.getElementById(“c”).value;
var d = ( eval(nilai2) + eval(nilai3) ) * eval(nilai1) * 0.5;
document.getElementById(“result1”).innerHTML = d;
}

Masukan Nilai Tinggi, sisi alas dan sisi atas
Tinggi (t)    :
Sisi alas (a) :
Sisi atas (b) :

Luas Trapesium :
Contoh Soal

1. Perhatikan gambar di samping !
Luas trapesium di samping adalah ….

  • a. 3.540 cm ²
  • b. 3.840 cm ²
  • c. 3.450 cm ²
  • d. 3.480 cm ²

Luas : (a+b) x t = (36 + 124) x 48 = 160 x 48
                2                       2                    2
= 7.680/2 = 3.840 cm²

2. Sebuah trapesium memiliki luas 2.016 cm ² . Jika tinggi trapesium tersebut 36 cm,
berapa jumlah panjang sisi sejajarnya?

  • a. 28 cm
  • b. 56 cm
  • c. 112 cm
  • d. 224 cm

Luas trapesium = 2.016 cm ²
Tinggi trapesium = 36 cm
(a + b) = ( Luas x 2 ): tinggi = (2.016 x 2) : 36 = 4.032 : 36 = 112
Jadi, jumlah sisi sejajar trapesium adalah 112 cm.

3. Perhatikan gambar di samping !
Luas trapesium di samping adalah ….

  • a. 50 cm ²
  • b. 55 cm ²
  • c. 60 cm ²
  • d. 65 cm ²

Luas = (a + b) x t = ( 8 + 14) x 5 = 22 x 5 = 55 cm
                   2                    2                 2
Jadi, luas trapesium adalah 55 cm² .